正态总体的抽样分布

单个正态总体的抽样分布

学生定理： 设$X_{1},X_{2},...,X_{n}$为互相独立的随机变量，每个$X_{i}$都服从N($\mu, \sigma^{2}$)分布。定义随机变量：

则有:

• $\bar{X}$服从N($\mu, \sigma^{2} / n$)分布

• $\bar{X}$与$S^{2}$相互独立

• $(n-1)S^{2} / \sigma^{2}$服从$x^{2}(n-1)$分布 证明： 设有随机变量：$V = \sum\limits_{i=1}^{n}(\frac{X_{i} - \mu}{\sigma})^{2}$, 有$V \sim x^{2}(n)$ 又：

易知第三项为0，又$n\frac{(\bar{X} - \mu)^{2}}{\sigma^{2}} \sim N(0, 1)$，即服从自由度为1的卡方分布。 由卡方分布的可加性得到：$\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{(X_{i} - \bar{X})^{2}}{\sigma^{2}} \sim x^{2}(n-1)$。

• 随机变量

服从自由度为n-1的t-分布 证明： 原式等价于：

可知上式$\sim N(0, 1)$，下式 $\sim x^{2}(n-1)$，故原式$\sim t(n-1)$

两个正态总体的抽样分布

定理： 设样本($X_{1},X_{2},...,X_{n}$)与($Y_{1}, Y_{2},...,Y_{n}$)分别来自总体N($\mu_{1},\sigma_{1}^{2}$)和N($\mu_{2},\sigma_{2}^{2}$)，并且他们相互独立。假设样本均值分别为$\bar{X}, \bar{Y}$,样本方差分别为$S_{1}^{2},S_{2}^{2}$.则可得到如下的三个分布：

证明： 结合学生定理中的$\frac{(n-1)S^{2}}{\sigma^{2}} \sim x^{2}(n-1)$,以及F-分布的定义可以得到结论。

当$\sigma_{1}^{2} = \sigma_{2}^{2} = \sigma^{2}$时，

其中

矩估计

点估计定义： 设总体X有未知参数$\theta$，$X_{1},X_{2},...,X_{n}$为样本。点估计即构造合适的统计量$\hat{\theta} = \hat{\theta}(X_{1},...,X_{n})$来估计未知参数$\theta$。统计量$\hat{\theta}$即为$\theta$的点估计量。

矩估计定义： 用样本矩作为总体矩的估计即为矩估计。