统计量

统计量定义： 设$X_{1},...,X_{n}$为总体X的一个样本，若函数T = T($X_{1},...,X_{n}$)（不包含未知参数）为样本的一个函数，则成为T统计量。

常用统计量

样本均值：

样本方差：

样本标准差：

样本k阶原点矩： (补充：矩即指n次方的平均值

样本k阶中心矩：

当总体数字特征未知时，总会用样本的数字特征来估计总体的数字特征。

三个分布

卡方分布

定义： 设随机变量$X_{1},X_{2},...,X_{n}$相互独立，且都服从N(0, 1)，则称$Y = \sum_{i=1}^{n}X_{i}$服从自由度为n的卡方分布，记为：$Y \sim x^{2}(n)$

$x^{2}(n)$的密度函数为：

其中$\tau(x)$为gamma函数

性质：

• 期望与方差：若$Y \sim x^{2}(n)$, 则E(Y) = n，Var(Y) = 2n
• 可加性：若$Y_{1}\sim x^{2}(n_{1}), Y_{2} \sim x^{2}(n_{2})$，且$Y_{1}与Y_{2}$相互独立，则$Y_{1} + Y_{2} \sim x^{2}(n_{1} + n_{2})$
• 与gamma分布的关系：$x^{2}(n)$分布即为$\tau (\frac{n}{2}, 2)$分布

t-分布

定义： 设$X \sim N(0, 1)$, $Y \sim x^{2}(n)$，且X与Y相互独立，则称随机变量

服从自由度为n的t分布，记作$T \sim t(n)$

性质：

• 对称性：t-分布的密度函数关于0对称
• 期望：若n > 1，则E(T) = 0
• 极限分布：设$f(x ; n)$为对应t分布的密度函数，当$n \rightarrow \infty$时，

即t-分布在$n \rightarrow \infty$时的极限分布为标准正态分布N(0, 1)

F-分布

定义： 设$X \sim x^{2}(n_{1})$, $Y \sim x^{2}(n_{2})$，且X和Y互相独立，则称随机变量

服从自由度为($n_{1},n_{2}$)的F-分布，记作$F \sim F(n_{1}, n_{2})$

性质：

• 若$F \sim F(n_{1}, n_{2})$，则F > 0
• 若$F \sim F(n_{1}, n_{2})$, 则$\frac{1}{F} \sim F(n_{2}, n_{1})$